Kursy Kurs Analiza matematyczna i algebra liniowa Wykłady kursu Analiza matematyczna i algebra liniowa Kurs Zadanie 1

Zadanie 1

Analiza matematyczna i algebra liniowa

Indukcja matematyczna

Treść zadania

Korzystając, z zasady indukcji matematycznej udowodnij następującą tożsamość (nierówność):

\tiny 1^{2} + 2^{2} + ... + n^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

Rozwiązanie zadania

\tiny T(1) 1^{2} = 1

\tiny T(n) 1^{2} + ... + n^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

\tiny T(n+1) 1^{2} + ... + n^{2} + (n+1)^{2}

\tiny L : \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n + 1)^{2} = P : \frac{(n+1)(n + 1 + 1)(2n + 2 + 1)}{6}\tiny L : \frac{(n^{2} + n)(2n + 1)}{6} + \frac{6(n + 1)^{2}}{6} = \frac{2n^{3} + n^{2} + 2n^{2} + n + 6(n^{2} + 2n + 1)}{6} =

\tiny \frac{2n^{3} + 3n^{2} + n + 6n^{2} + 12n + 6}{6} = \frac{2n^{3} + 9n^{2} + 13n + 6}{6}

\tiny P: \frac{(n + 1)(n + 2)(2n + 3)}{6} = \frac{(n^{2} + 3n + 2)(2n + 3)}{6} =

\tiny \frac{2n^{3} + 3n^{2} + 6n^{2} + 9n + 4n + 6}{6} = \frac{2n^{3} + 9n^{2} + 13n + 6}{6}

L = P 

Wróć